Calculate Determinant in $O(n^3)$ Time
用第一类和第三类初等行变换把 \(n\) 阶方阵 \(A\) 化成行阶梯矩阵 \(B\)。行阶梯矩阵是上三角矩阵,所以 \(\det B\) 就是 \(B\) 的主对角元的乘积。第一类初等行变换只改变行列式的符号,第三类初等行变换保持行列式不变。设把 \(A\) 化成 \(B\) 共用了 \(c_1\) 次第一类初等行变换,则有 \(\det A = (-1)^{c_1} \det B\)。在把 \(A\) 化成 \(B\) 的过程中,若发现 \(B\) 的某个主对角元是 \(0\),则知 \(\det A = 0\),就不用继续转化了。