挡板法应用一例（续）
为前文《隔板法应用一列》补充一个问题。
问题五
正整数 \(1 \le x_1 < x_2 < \dots < x_m \le n\)，求 \(\sum (x_2 - x_1) \dots (x_m - x_{m-1})\)。
解说
考虑 \(\sum (x_2 - x_1) \dots (x_m - x_{m-1})\) 的组合意义。设想有 \(n\) 个球排成一行。相邻两球之间和最后一个球之后这些位置可以插入一块隔板。先插入 \(m\) 块隔板，第 \(i\) 块隔板左边的球数就是 \(x_i\)；然后从每两块相邻的隔板之间任选一个球，有 \((x_2 - x_1) \dots (x_m - x_{m-1})\) 种方法。做“插入隔板然后选球”这件事的方法数就是 \(\sum (x_2 - x_1) \dots (x_m - x_{m-1})\)。插入 \(m\) 块隔板之后，共有 \(n + m\) 个东西排成一行，把这些东西从左到右编号；然后选择 \(m - 1\) 个球，把隔板和所选的球的编号从小到大写下来就得到一个长为 \(2m - 1\) 的序列。容易验证，这个序列和做“插入隔板然后选球”这件事的方法一一对应。
于是问题化为
有多少个正整数序列 \((a_1, \dots, a_{2m - 1})\) 满足 \(2 \le a_1 < \dots < a_{2m - 1} \le n + m\)？
答案是 \({n + m - 1 \choose 2m - 1}\)。