记号与约定

• \(x \in \R\)，\(|x| < 1\)
• \(0^0 = 1\)

问题

计算幂级数 \(S_K(x) := \sum_{n \ge 0} n^K x^n\)，\(K \in \Z_{\ge 0}\)。

推导

熟知 \(S_0(x) = 1/(1 - x)\)。 对于 \(K \ge 1\)， \[\begin{aligned} x S_K(x) &= x\sum_{n \ge 0} n^K x^{n} \\ & = \sum_{n \ge 0} (n + 1)^K x^{n + 1} - x\sum_{n \ge 0} ( (n+1)^K - n^K )x^{n} \\ & = S_K(x) - x\sum_{n \ge 0} ( (n+1)^K - n^K )x^{n} \end{aligned}\]

于是 \[\begin{equation} S_K(x) = {x \over 1 - x} \sum_{n \ge 0} ( (n+1)^K - n^K )x^{n} \label{E:1} \end{equation}\] 由二项式定理知 \((n + 1)^{K} - n^K\) 是一个关于 \(n\) 的 \(K - 1\) 次多项式，这样 \(\eqref{E:1}\) 就是 \(S_K(x)\) 的递推式。由 \(\eqref{E:1}\) 易得

• \(S_1(x) = {x \over 1 - x} S_0(x) = {x \over (1 - x)^2}\)。
• \(S_2(x) = {x \over 1 - x} (S_0(x) + 2S_1(x)) = {x \over 1 - x} ({1 \over 1 - x} + {2x \over (1 - x)^2}) = {x + x^2 \over (1 - x)^3}\)。